Εσύ το 'ξερες;

Τι διαφορές έχει το παρόν νήμα από το "Το ξέρατε ?"...
avclub.gr

Το ξέρατε ?

Γιατί οι ράγες των σιδηροδρομικών γραμμών στις Η.Π.Α. απέχουν μεταξύ τους 143,51 εκατοστά; Η απόσταση ανάμεσα στις δύο ράγες των σιδηροδρομικών γραμμών στις Η.Π.Α. είναι 4 πόδια και 8,5 ίντσες (143,51 cm). Μάλλον παράξενος αριθμός, δε νομίζετε; Γιατί άραγε να έχει επιλεγεί το συγκεκριμένο...
avclub.gr avclub.gr
 
Ψευδείς μνήμες...
www.oneman.gr

Φαινόμενο Mandela: Τι είναι και πώς επηρεάζει τις αναμνήσεις

Μήπως τελικά τα πράγματα δεν είναι ακριβώς έτσι όπως τα θυμόμαστε; Πώς εξηγούν οι επιστήμονες τις παραμορφωμένες συλλογικές αναμνήσεις;
www.oneman.gr www.oneman.gr

Και, 25, απ' αυτές...
To view this content we will need your consent to set third party cookies.
For more detailed information, see our cookies page.
 
Μέχρι το λεπτό 11 ήταν όλο πολύ εύκολο (δηλαδή βρείτε μια λύση της εξίσωσης). Από εκεί και πέρα δεν θυμόμουν πως προχωράμε για να δούμε αν υπάρχουν και άλλες λύσεις. Να πω την αλήθεια ο τρόπος που εξηγεί μετά το λεπτό 11 δεν μου θύμιζε τίποτα, οπότε μάλλον μας μάθαιναν να το λύνουμε κάπως διαφορετικά στο πανεπιστήμιο.

Κλασσικά όμως, μάλλον η εμπειρία της δουλειάς μετά το πανεπιστήμιο με έκανε να προσπαθήσω να το λύσω διαφορετικά με brute force πριν δω το βίντεο. Έβαλα για x=2 και μετά x=3, είδα ότι η λύση είναι κάπου εκεί και με λίγες προσπάθειες και με τη χρήση ενός επιστημονικού calculator βρήκα ότι η λύση είναι περίπου 2.3κάτι. Στο κάτω κάτω και η κυρία στο βίντεο χρησιμοποιεί calculator στο τέλος για να βρει λογαρίθμους (βέβαια οκ, μπορείς να έχεις και πίνακες εκτυπωμένους και εκεί προφανώς πρέπει να πας με τη λύση της :) ).

Το χειρότερο από όλα είναι ότι το έβαλα και στο ChatGPT o1 και ακολούθησε τη δική μου προσέγγιση...Χρειάστηκε 47 δευτερόλεπτα σκέψης


Solving the equation

2x+8x=1302^x + 8^x = 1302x+8x=130
for real x requires reconciling two exponential terms that scale at different rates. Although such equations do not typically admit simple closed-form solutions, they can be approached through systematic numerical methods or through an educated search for approximate integer or fractional values of x. In what follows, we will outline a logical process for estimating the solution and confirm its uniqueness.

Detailed Exploration

  1. Initial Observations
    • For x=1x = 1x=1, 21+81=2+8=102^1 + 8^1 = 2 + 8 = 1021+81=2+8=10, which is significantly smaller than 130.
    • For x=2x = 2x=2, 22+82=4+64=682^2 + 8^2 = 4 + 64 = 6822+82=4+64=68, still below 130 but getting closer.
    • For x=3x = 3x=3, 23+83=8+512=5202^3 + 8^3 = 8 + 512 = 52023+83=8+512=520, which overshoots 130 by a large margin.
    • These discrete checks suggest that if a solution exists, it must lie between x=2x = 2x=2 and x=3x = 3x=3.
  2. Monotonic Behavior
    The function
    f(x)  =  2x+8xf(x) \;=\; 2^x + 8^x f(x)=2x+8x
    is strictly increasing for real xxx, since 8x8^x8x grows especially fast. Because f(x)f(x)f(x) increases monotonically, there can be at most one real solution to the equation f(x)=130f(x) = 130f(x)=130.
  3. Refined Numerical Checks
    • At x=2.2x = 2.2x=2.2:22.2≈4.59,82.2≈98.70,sum≈103.292^{2.2} \approx 4.59, \quad 8^{2.2} \approx 98.70, \quad \text{sum} \approx 103.2922.2≈4.59,82.2≈98.70,sum≈103.29which is still below 130.
    • At x=2.5x = 2.5x=2.5 (a midpoint check):22.5≈5.66,82.5≈181.02,sum≈186.682^{2.5} \approx 5.66, \quad 8^{2.5} \approx 181.02, \quad \text{sum} \approx 186.6822.5≈5.66,82.5≈181.02,sum≈186.68which now exceeds 130. Hence, the solution lies between 2.2 and 2.5.
  4. Pinpointing the Approximate Solution
    By testing progressively narrower intervals—or by employing a method such as bisection or Newton’s method—one narrows down the value:
    • At x=2.31x = 2.31x=2.31, 22.31+82.312^{2.31} + 8^{2.31}22.31+82.31 is just under 130.
    • At x≈2.32x \approx 2.32x≈2.32, 22.32+82.322^{2.32} + 8^{2.32}22.32+82.32 is slightly under 130, but very close.
    • Fine-grained interpolation suggestsx≈2.32x \approx 2.32x≈2.32is the unique solution (to two decimal places). More careful iterative methods confirm that xxx is around 2.320–2.3212.320\text{–}2.3212.320–2.321.
Broader Implications and Limitations

  • Uniqueness: Because 2x2^x2x and 8x8^x8x are monotonic and nonnegative for all real xxx, the equation has only one real root.
  • Approximate Nature: In the absence of a closed-form expression, the solution is necessarily numerical. Small variations in the iterative method or computational precision can shift the final decimal places slightly.
Conclusion and Future Directions
We have shown that 2x+8x=1302^x + 8^x = 1302x+8x=130 has a single real solution, numerically approximated as x≈2.32x \approx 2.32x≈2.32. A more refined approach using methods like Newton’s iteration can yield additional decimal accuracy.
 
Η λύσεις αυτές είναι προσεγγιστικές. Η δική της λύση είναι ακριβής. Και η μέθοδος δοκιμών για την εύρεση των άλλων δύο λυσεων στο δεύτερο μισό μου ήταν εντελώς άγνωστη.
 
ln() said:
Η λύσεις αυτές είναι προσεγγιστικές. Η δική της λύση είναι ακριβής. Και η μέθοδος δοκιμών για την εύρεση των άλλων δύο λυσεων στο δεύτερο μισό μου ήταν εντελώς άγνωστη.
Click to expand...
Είναι ακριβής ναι, αλλά αν πρέπει να μην σταματήσεις στον λογάριθμο πάλι προσεγγιστικά θα πας.
Θυμάσαι ποια μέθοδο μαθαίνουμε (ή έστω μαθαίναμε) στο πανεπιστήμιο για να λύσουμε κάτι αντίστοιχο. Προφανώς δεν θυμάμαι καν αν μας είχαν διδάξει κάτι αντίστοιχο.
 
Γιώργος Κυριακαράκος said:
Θυμάσαι ποια μέθοδο μαθαίνουμε (ή έστω μαθαίναμε) στο πανεπιστήμιο για να λύσουμε κάτι αντίστοιχο. Προφανώς δεν θυμάμαι καν αν μας είχαν διδάξει κάτι αντίστοιχο.
Click to expand...
Η συνήθης μέθοδος ήταν "ανοίγεις το τυπολόγιο του Schaum και βρίσκεις αυτό που σου κάνει". Αν δεν βρεις κάτι "ανοίγεις το Numerical Recipies και βρίσκεις τον αλγόριθμο που σου κάνει".
 
  • Like
Reactions: Νικος Πετειναρακης
ln() said:
Η συνήθης μέθοδος ήταν "ανοίγεις το τυπολόγιο του Schaum και βρίσκεις αυτό που σου κάνει". Αν δεν βρεις κάτι "ανοίγεις το Numerical Recipies και βρίσκεις τον αλγόριθμο που σου κάνει".
Click to expand...
Μέθοδος που είχα εφαρμόσει ουκ ολίγες φορές ειδικά στην Κβάντο 2, επίσκεψη στο γραφείο του βοηθού του καθηγητή (συνήθως διδακτορικός), με γλυκό χαμόγελο και γλυκό φραπόγαλο για κέρασμα!
 
  • Like
Reactions: ln()
Το βρήκα ενδιαφέρον.Δεν ξέρω εαν το έβαλα στη σωστή κατηγορία.Αν όχι ας μετακινηθεί....
Σβήσιμο φωτιάς με τη χρήση χαμηλών συχνοτήτων από το πανεπιστήμιο George Mason.Νέα υποσχόμενη τεχνολογία κατάσβεσης.
To view this content we will need your consent to set third party cookies.
For more detailed information, see our cookies page.
 
  • Wow
Reactions: ΓΡΥΠΑΣ
Δεν θα επιβιώναμε εκεί.
Όπως λέει και ένας φίλος Ισλανδός "Το πιο διασκεδαστικό πράγμα που μπορείς να κάνεις τον χειμώνα στην Ισλανδία είναι να βγεις έξω να πεθάνεις από το κρύο".
Κάποια στιγμή τον τρόλλαρα, του λέω "σήμερα χιόνισε τόσο πολύ που τα παιδιά έχασαν το σχολείο τους".
Και πήρα την πληρωμένη απάντηση
"Και εμείς είχαμε χάσει το σχολείο μια φορά από το πολύ χιόνι. Δεν το βρίσκαμε."
 
  • Haha
  • Like
  • Wow
Reactions: athlon6401, Σπύρος Παναγιωτόπουλος, ln() and 6 others
Aπο μενα 😌.............................. τι αλλο μπορει να περιμενατε ? 😙😚

To view this content we will need your consent to set third party cookies.
For more detailed information, see our cookies page.

Δεν υπαρχει πιο πανηγυρτιζιδικη ηχητικη πανδαισια .......... χορευω ! 🤪🤩
Ο πιρουετος ...... 🥳 .......
 
  • Haha
  • Wow
Reactions: KostasMo, Billy the Kid, Tzimisce and 1 other person
Ε τι να πεις.

Μπορείς και να πεις γιατί όχι...

Βέβαια πρέπει να βρεθεί συνθέτης να συνθέσει κάτι καινούργιο για αυτή την ορχήστρα...

To view this content we will need your consent to set third party cookies.
For more detailed information, see our cookies page.

To view this content we will need your consent to set third party cookies.
For more detailed information, see our cookies page.
 
Top Bottom